Question

(2014·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.

(1)求f(x)的極值.

(2)若存在區(qū)間M,使f(x)和g(x)在區(qū)間M上具有相同的單調(diào)性,求a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）f(x)的極小值為f(ln(-a))=-a+aln(-a);沒有極大值

（2）(-∞,-1)

【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)镽,且f′(x)=ex+a.

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex,故f(x)在R上單調(diào)遞增.

從而f(x)沒有極大值,也沒有極小值.

當(dāng)a<0時(shí),令f′(x)=0,得x=ln(-a).

f(x)和f′(x)的情況如下：

x	(-∞,ln(-a))	ln(-a)	(ln(-a),+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘		↗

 

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,ln(-a));

單調(diào)遞增區(qū)間為(ln(-a),+∞).

從而f(x)的極小值為f(ln(-a))=-a+aln(-a);沒有極大值.

(2)g(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且g′(x)=a-=.

當(dāng)a=0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增,

g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不合題意.

當(dāng)a<0時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)-1≤a<0時(shí),ln(-a)≤0,

此時(shí)f(x)在(ln(-a),+∞)上單調(diào)遞增,

由于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不合題意.

當(dāng)a<-1時(shí),ln(-a)>0,

此時(shí)f(x)在(-∞,ln(-a))上單調(diào)遞減,

由于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,符合題意.

綜上,a的取值范圍是(-∞,-1).