Question

已知（1+2x）ⁿ的二項(xiàng)展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，是它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

．
（1）求n的值；
（2）求（1+2x）ⁿ的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出相鄰三項(xiàng)的系數(shù)，據(jù)題意，列出方程；利用組合數(shù)公式求出n的值．
（2）設(shè)系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，令它的系數(shù)大于等于第r項(xiàng)的系數(shù)同時大于等于第r+1項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組，利用組合數(shù)公式求出r的值，求出二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)該項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

（2分）
即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

（4分）
解得

r=4 n=7.

∴n=7．（6分）
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則有

C r 7 2r≥ C r-1 7 2r-1 C r 7 2r≥ C r+1 7 2r+1

，（8分）
即

2 C r 7 ≥ C r-1 7 C r 7 ≥2 C r+1 7

亦即

2 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(7-r+1)! 7! r!(7-r)! ≥2 7! (r+1)!(7-r-1)!

（10分）
解得

2 r ≥ 1 8-r 1 7-r ≥ 2 r+1

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

r=5，（13分）
∴二項(xiàng)式展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆=C₇⁵（2x）⁵=672x⁵．（14分）

點(diǎn)評：求展開式的特殊項(xiàng)問題時采用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法是設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，令該項(xiàng)的系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時等于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)．