Question

【題目】設(shè)關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β（α＜β），函數(shù)

（1）證明f（x）在區(qū)間（α，β）上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最�。�

Answer 1

【答案】（1）見解析,(2) 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小.

【解析】（1）證明：設(shè)Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，則當(dāng)α＜x＜β時(shí)，Φ（x）＜0．

f′（x）=＞0，∴函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．

（2）由關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β（α＜β），

可得α β，f（α） ，f（β）=，

即有f（α）f（β） =﹣4＜0，

函數(shù)f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，

∴當(dāng)且僅當(dāng)f（β）=﹣f（α）=2時(shí)，

f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，

此時(shí)a=0，f（β）=2．當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小．