【題目】已知數(shù)列中，，,.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，，若對(duì)任意，有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）將，變形為，利用等比數(shù)列的定義即可證明；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可以得出，之后應(yīng)用累加法求得，一定不要忘記對(duì)首項(xiàng)的驗(yàn)證；

（3）對(duì)相應(yīng)的項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，之后求和，再利用數(shù)列的單調(diào)性，不等式的解法即可得出結(jié)果.

（1）證明：∵，∴.

，∴，∴.

∴數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.

（2）∵是公比為2，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，通項(xiàng)，

故

，當(dāng)時(shí)，符合上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（3）∵，，

∴

故，又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以的最小值為，成立，

由已知，有，解得，所以m的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列命題中是假命題的是（ ）

A. ，函數(shù)都不是偶函數(shù)

B. ，

C. ，使

D. 若向量，則在方向上的投影為2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

（1）選5人排成一排；

（2）排成前后兩排，前排4人，后排3人；

（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

（4）全體排成一排，女生必須站在一起；

（5）全體排成一排，男生互不相鄰.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）元．已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為15元／千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．

（Ⅰ）求的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校舉行了一次考試，從學(xué)生中隨機(jī)選取了人的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).已知這些學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭?/span>分至分之間，現(xiàn)將成績(jī)按如下方式分成組：第一組，第二組，.......，第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分和眾數(shù)；

（2）從成績(jī)大于等于分的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，求至少有名學(xué)生的成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長(zhǎng)后通過點(diǎn)的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為米，圓心角為（弧度）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出為何值時(shí)， 取得最大值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）求證： .

（2）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：

sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；

sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；

sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；

sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.

①試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

②根據(jù)①的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面為菱形，且，平面平面，、分別是、的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求與平面所成角的大小.

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