Question

18．已知函數(shù)f（x）=2sin$（{x-\frac{α}{2}}）cos（{x-\frac{α}{2}}）+2\sqrt{3}{cos^2}（{x-\frac{α}{2}}）-\sqrt{3}$，其圖象過點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$，且α∈[0，π]．
（I）求α的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式整理化簡，進(jìn)而求得函數(shù)的最小正周期；把圖象過點(diǎn)代入函數(shù)解析式求得cosα的值，進(jìn)而求得α．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（I）f（x）=2sin$（{x-\frac{α}{2}}）cos（{x-\frac{α}{2}}）+2\sqrt{3}{cos^2}（{x-\frac{α}{2}}）-\sqrt{3}$=sin（2x-α）+$\sqrt{3}$cos（2x-α）=2sin（2x-α+$\frac{π}{3}$）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵函數(shù)圖象過點(diǎn)$（{\frac{π}{12}，0}）$，
∴2sin（$\frac{π}{6}$-α+$\frac{π}{3}$）=0，
∴cosα=0，
∵α∈[0，π]，
∴α=$\frac{π}{2}$．
（Ⅱ）由（I）知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和公式，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的運(yùn)用．考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和熟練應(yīng)用能力．