Question

已知函數(shù)，，設.

（1）若在處取得極值，且，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時函數(shù)h(x)有兩個不同的零點x1,x2.

①求b的取值范圍；②求證：.

Answer 1

 (1)因為，所以,

由可得a=b-3.                

又因為在處取得極值，

所以，              

所以a= -2,b=1 .                              

所以，其定義域為（0，+）

令得，                                 

當（0,1）時，，當（1,+），

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間（0,1）上單調(diào)增；在區(qū)間（1,+）上單調(diào)減. 

（2）當時，，其定義域為（0，+）.

①由得，記，則,

所以在單調(diào)減，在單調(diào)增，

所以當時取得最小值.

又，所以時，而時,

   所以b的取值范圍是（，0）.                           

②由題意得,

所以,

所以，不妨設x1<x2,

要證 ,   只需要證.

即證，設,

則,

所以,

所以函數(shù)在（1，+）上單調(diào)增，而，

所以即,

所以 .