Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（3＞b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若存在過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的圓與直線x+y+2=0相切，則橢圓離心率的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 通過題意可過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的圓的方程為：x²+（y-m）²=m²+c²，利用該圓與直線x+y+2=0相切、二次函數(shù)的性質(zhì)及離心率公式，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的圓的圓心在y軸上，
設(shè)方程為：x²+（y-m）²=m²+c²，
∵過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的圓與直線x+y+2=0相切，
∴d=r，即$\sqrt{{m}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{|m+2|}{\sqrt{1+1}}$，
解得：c²=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m+2，
∴當(dāng)c最大時(shí)e最大，
而-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m+2=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+4≤4，
∴c的最大值為2，
∴e的最大值為$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查求橢圓的離心率、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．