Question

12．已知△ABC三頂點(diǎn)均在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，三邊AB、BC、AC所在的直線的斜率均存在且均不為0，其和為-1；又AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為M、N、P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM、ON、OP的斜率分別為k₁，k₂，k₃且均不為0，則$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出A．B．C，M．N．P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，確定三條邊所在直線的斜率，結(jié)合直線AB，BC，AC的斜率之和為-1，求得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$的值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：2x₁²-y₁²=4，2x₂²-y₂²=4，兩式相減，
得到2（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
x₁+x₂=2s₁，y₁+y₂=2t₁，k₁=$\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2•$\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{2}{{k}_{1}}$；
同理可得，k_BC=2•$\frac{{s}_{2}}{{t}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{2}}$；
k_AC=2•$\frac{{s}_{3}}{{t}_{3}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．
由三邊AB、BC、AC所在的直線的斜率均存在且均不為0，其和為-1，
即有k_AB+k_BC+k_AC=$\frac{2}{{k}_{1}}$+$\frac{2}{{k}_{2}}$+$\frac{2}{{k}_{3}}$=-1，
則$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查點(diǎn)差法求斜率，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．