Question

如圖，矩形OABC和平行四邊形OA₁B₁C₁的部分頂點(diǎn)坐標(biāo)為：A（-1，0），B（-1，2），A₁（

1

2

，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅蜲A₁B₁C₁的線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣M；
（Ⅱ）矩陣M是否存在特征值？若存在，求出矩陣M的所有特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算,幾種特殊的矩陣變換

專題：計(jì)算題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）設(shè)M=

a b c d

，依題意得C（0，2），依題意得=

a b c d

•

-1 0

=

1 2 1

，由矩陣乘法解出a，b，c，d即可；
（II）由矩陣的特征多項(xiàng)式f（λ）=

.

λ+ 1 2 -1 1 λ

.

，令它為0，即可得到特征值和特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M=

a b c d

，依題意得C（0，2）
依題意得=

a b c d

•

-1 0

=

1 2 1

，
即

-a= 1 2 -c=1 2b=2 2d=0

，所以

a=- 1 2 b=1 c=-1 d=0

所以M=

- 1 2 1 -1 0

；
（II）因?yàn)榫仃嘙的特征方程f（λ）=

.

λ+ 1 2 -1 1 λ

.

=λ²+

1

2

λ+1=0無(wú)解，
所以矩陣M沒有特征值也沒有特征向量．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣變換與矩陣的求法，考查矩陣特征值與特征向量的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．