Question

 

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，證明：；

 

 

Answer 1

【答案】

 

（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）

（1）解：依題意可得，．……………………………………………1分

設(shè)雙曲線的方程為，

因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即．

所以雙曲線的方程為．……………………………………………3分

（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，，），直線的斜率為（），

則直線的方程為，………………………………………………4分

聯(lián)立方程組…………………………………………………5分

整理，得，

解得或．所以．……………………………………6分

同理可得，．……………………………………………………………7分

所以．……………………………………………………………………8分

 

證法2：設(shè)點(diǎn)、（，，），

則，．…………………………………………………………………………4分

因?yàn)?sub>，所以，即．………………5分

因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，所以，．

即，．…………………………………………6分

所以，即．…………………………………7分

所以．………………………………………………………………………8分

證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，……………………4分

聯(lián)立方程組………………………………………………5分

整理，得，

解得或．…………………………………………………………………6分

將代入，得，即．

所以．……………………………………………………………………8分