已知函數(shù)f(x)=
lnaxx
(a＞0，a∈R)，e為自然對數(shù)的底，
（1）求f（x）的最值；
（2）若關(guān)于x方程ln2x=x3-ex2+mx有兩個(gè)不同解，求m的范圍．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值，從而求得函數(shù)的最值．
（2）由（1）可得f（x）在x=
e
2
處取得最大值，條件等價(jià)于
ln2x
x
=x2-ex+m=(x-
e
2
)2+m-
e2
4
 有2個(gè)不同的解，結(jié)合圖象可知m-
e2
4
＜
2
e
，由此求得m的范圍．
解答：解：（1）a＞0，定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=
1-lnax
x2
，
令f′（x）=0，解得x=
e
a
，當(dāng)x∈(0，
e
a
)時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈(
e
a
，+∞)時(shí)，f′（x）＜0，所以fmax(x)=f(
e
a
)=
a
e
．
（2）由（1）可知f(x)=
ln2x
x
在x=
e
2
時(shí)，取得最大值
2
e
，ln2x=x3-ex2+mx?
ln2x
x
=x2-ex+m=(x-
e
2
)2+m-
e2
4
，要讓方程有兩個(gè)不同解，
結(jié)合圖象可知：m-
e2
4
＜
2
e
，解得m＜
2
e
+
e2
4
．
點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時(shí)，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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