Question

O是銳角三角形ABC的外心，由O向邊BC，CA，AB引垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)，給出下列命題：
①；
②；
③||：||：||=cosA：cosB：cosC；
④?λ∈R，使得（+）．
以上命題正確的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：由O點是銳角三角形ABC的外心，利用外心的概念，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則得到向量與向量的關(guān)系，運用反證法的思想得到命題①②均不正確；
利用三角形外接圓半徑的關(guān)系，把||：||：||轉(zhuǎn)化為：：，進一步轉(zhuǎn)化為cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，借助于同弧所對圓心角是圓周角的2倍得到③||：||：||=cosA：cosB：cosC；
利用正弦定理把命題④中的sinB和sinC替換為三角形的邊長和外接圓的半徑，由替換整理可求出存在的實數(shù)λ的值．
解答：因為O是銳角三角形ABC的外心，所以O(shè)在△ABC內(nèi)部，由O向邊BC，CA，AB引垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)，
則D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點，
由向量加法的平行四邊形法則可知，，
若，則，所以，說明A，O，D一定共線，因為OD⊥BC，
所以AD⊥BC，則有AB=AC，而原三角形只是銳角三角形，不一定有AB=AC，所以命題①錯誤；
由，
所以=，
因為命題①不正確，所以命題②不正確；
因為O是△ABC的外心，所以O(shè)A=OB=OC，又OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB
所以O(shè)D：OE：OF=：：=cos∠COD：cos∠AOE：cos∠BOF，
∵∠COD=∠BOC=∠A，∠AOE=∠COA=∠B，∠BOF=∠AOB=∠C，
∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC，所以命題③正確；
在△ABC中，因為，
所以=，
因為，若?λ∈R，使得（+），
即，則，所以．
所以?λ∈R，使得（+），所以命題④正確．
綜上，正確命題是③④．
故選B．
點評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形的外心，明確三角形的外心是三邊中垂線的交點是關(guān)鍵，考查了平面向量在三角形中的應(yīng)用，屬中檔題．