Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點(diǎn)D在棱AB上．
（1）求證：AC⊥B₁C；
（2）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （1）由題目給出的三棱柱的底面邊長(zhǎng)可證得AC⊥BC，再根據(jù)給出的三棱柱為直三棱柱，有AC⊥CC₁，利用線面垂直的判定可以證明AC⊥面BB₁C₁C，從而得到要證的結(jié)論．（2）連結(jié)BC₁，交B₁C于E，連接DE．證明DE∥AC₁，利用直線與平面平行的判定定理證明AC₁∥平面B₁CD．

解答 證明：（1）在△ABC中，∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥AC．
∵BC∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
∴AC⊥B₁C．
（2）如圖連接BC₁，交B₁C與E，連接DE，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴側(cè)面BB₁C₁C為矩形，D是AB中點(diǎn)，DE為△ABC₁的中位線，

∴DE∥AC₁．
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．