Question

已知A，B是拋物線y²=-7x上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB
（Ⅰ）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=-7x1 y22=-7x2

，由OA⊥OB，知y₁y₂=-49，x₁x₂=49，利用題設(shè)條件推導(dǎo)出AB的方程為y-y₁=

-7

y1+y2

(x-x1)，由此能推導(dǎo)出直線AB過(guò)點(diǎn)（-7，0）．
（2）直線AB過(guò)點(diǎn)（-7，0），OA⊥OB，當(dāng)直線AB過(guò)（-7，0）且垂直于x軸時(shí)，△AOB的面積的取最小值．由此能求出結(jié)果．

解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=-7x1 y22=-7x2

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（-

y12

7

）•（-

y22

7

）+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-49，x₁x₂=49，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 -7 - y22 -7

=

-7

y1+y2

，
∴AB的方程為y-y₁=

-7

y1+y2

(x-x1)，
∴y=

-7

y1+y2

x-

49

y1+y2

，
∴y=

-7

y1+y2

（x+7），
∴直線AB過(guò)點(diǎn)（-7，0）…（6分）
（2）解：∵直線AB過(guò)點(diǎn)（-7，0），OA⊥OB，
∴當(dāng)直線AB過(guò)（-7，0）且垂直于x軸時(shí)，△AOB的面積的取最小值．
此時(shí)A（-7，7），B（-7，-7），
∴|OA|=|OB|=7

2

，
∴△AOB的面積的最小值S=

1

2

×7

2

×7

2

=49．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線性質(zhì)的合理運(yùn)用．