Question

2．設F為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點，點F到直線l：x+y+2=0的距離為$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若Q為直線l上一動點，過點Q引拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，試探究直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點，運用點到直線的距離公式，解得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）求出函數的導數，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程，結合韋達定理，可得切點弦AB的方程，再由直線恒過定點的求法，即可得到定點．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F（0，$\frac{p}{2}$），
點F到直線l：x+y+2=0的距離為$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，即有$\frac{|0+\frac{p}{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
解得p=2，
拋物線C的方程為x²=4y；
（2）設A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），Q（x₀，-2-x₀），
∵y=$\frac{1}{4}$x²的導數為y′=$\frac{1}{2}$x，
即有k_AQ=$\frac{{x}_{1}}{2}$，
∴AQ的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁），
∴x₁²-2x₁x+4y=0．
∵AQ過Q，∴x₁²-2x₁x₀-8-4x₀=0，
同理x₂²-2x₂x₀-8-4x₀=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2x₀x-4x₀-8=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4x₀-8，x₁+x₂=2x₀，
又k_AB=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
∴AB的方程為y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$（x-x₁），
∴y=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$x-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$，即有y=$\frac{{x}_{0}}{2}$x-（-x₀-2），
即為x₀（1+$\frac{x}{2}$）=y-2，
令y=2，可得x=-2，
所以直線AB過定點（-2，2）

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線的方程的運用，聯立直線方程運用韋達定理，同時考查點到直線的距離公式和切線方程的求法，注意直線恒過定點的求法，屬于中檔題和易錯題．