Question

13．經(jīng)研究：經(jīng)過拋物線的焦點弦的兩個端點的切線的交點一定在拋物線的準線上：現(xiàn)用實例證明這個結(jié)論，已知拋物線f（x）=$\frac{{x}^{2}}{8}$的焦點弦AB，分別過點A，B作拋物線的切線，兩切線交點N
（1）證明：點N的縱坐標是一個定值t；
（2）已知g（x）=8f（x）-（a-t）x+alnx，討論g（x）的單調(diào)性
（3）若不等式g（x）=2f（x）+（2+t）x-alnx≥0（a＞0）恒成立，求證：$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}+\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}+\frac{ln{4}^{2}}{{4}^{2}}+…+\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}≤\frac{n-1}{e}$（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，n≥2，n∈N）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率和切線方程，解方程可得N的坐標，再由焦點弦方程代入拋物線方程，即可得到定值t=-2；
（2）化簡g（x），求出導數(shù)，并分解因式，對a討論，當a≤0時，當0＜a＜2時，當a=2時，當a＞2時，通過導數(shù)解不等式即可得到單調(diào)區(qū)間；
（3）構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（x＞0），求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最大值，再由累加法即可得證．

解答 （1）證明：拋物線方程y=$\frac{{x}^{2}}{8}$，求導得y′=$\frac{x}{4}$，
設切點A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），
∴k_NA=$\frac{{x}_{1}}{4}$，k_NB═$\frac{{x}_{2}}{4}$，
∴切線NA的方程為：y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$=$\frac{{x}_{1}}{4}$（x-x1）即y=$\frac{{x}_{1}}{4}$x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$，
切線NB的方程為：y=$\frac{{x}_{2}}{4}$x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，
聯(lián)立直線NA，NB的方程，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{8}}\end{array}\right.$，
設焦點弦AB的方程為y=kx+2，代入拋物線方程可得，
x²-8kx-16=0，即有x₁x₂=-16，x₁+x₂=8k，
則有N（4k，-2），點N的縱坐標是一個定值t=-2；
（2）解：g（x）=8f（x）-（a-t）x+alnx=x²-（a+2）x+alnx，x＞0．
g′（x）=2x-（a+2）+$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-a）}{x}$，
當$\frac{a}{2}$=1，即a=2時，g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）遞增；
當$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時，當x＞$\frac{a}{2}$或0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）在（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞）遞增，
當1＜x＜$\frac{a}{2}$時，g′（x）＜0，g（x）在（1，$\frac{a}{2}$）遞減；
當a≤0時，易得g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
當0＜a＜2時，當x＞1或0＜x＜$\frac{a}{2}$時，g′（x）＞0，g（x）在（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞）遞增，
當$\frac{a}{2}$＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（$\frac{a}{2}$，1）遞減．
綜上可得，當a≤0時，g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當0＜a＜2時，g（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{a}{2}$），（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{a}{2}$，1）．
當a=2時，g（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞2時，g（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{a}{2}$，+∞），g（x）的減區(qū)間為（1，$\frac{a}{2}$）．
（3）證明：令h（x）=$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$（x＞0），導數(shù)為h′（x）=$\frac{2（1-2lnx）}{{x}^{3}}$，
當0＜x＜$\sqrt{e}$時，h′（x）＞0，h（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞增，
當x＞$\sqrt{e}$時，h′（x）＜0，h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）遞減．
即有h（x）在（0，+∞）的最大值為h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，
即有h（x）$≤\frac{1}{e}$，
則$\frac{ln{2}^{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{ln{3}^{2}}{{3}^{2}}$+…+$\frac{ln{n}^{2}}{{n}^{2}}$≤$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$+…+$\frac{1}{e}$=$\frac{n-1}{e}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式的證明方法，注意構(gòu)造函數(shù)運用單調(diào)性，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．