Question

已知圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0相交于兩點，
（1）求公共弦AB所在的直線方程；
（2）求圓心在直線AB上，且經(jīng)過A，B兩點的圓的方程；
（3）求經(jīng)過A，B兩點且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）寫出過兩個圓的方程圓系方程，令λ=-1即可求出公共弦所在直線方程．
（2）欲求圓心在直線上，且經(jīng)過A，B兩點的圓的方程，即求出以線段AB的中點為圓心的圓的方程即可．
（3）經(jīng)過A，B兩點且面積最小的圓即為以AB為直徑的圓，與（2）的圓是相同的，進(jìn)而確定出所求圓的方程．

解答：解：（1）經(jīng)過圓C₁：x²+y²+2x+2y-8=0與圓C₂：x²+y²-2x+10y-24=0的公共點的圓系方程為：
x²+y²+2x+2y-8+λ（x²+y²-2x+10y-24）=0
令λ=-1，可得公共弦所在直線方程：x-2y+4=0；
（2）由

x 2+y 2+2x+2y-8=0  x 2+y 2-2x+10y-24=0

，
解得

x=-4 y=0

或

x=0 y=2

，
∴A，B兩點的（-4，0），（0，2），
其中點的坐標(biāo)為（-2，1），|AB|=

(-4)2+22

=2

5

，
故所求圓心為（-2，1），半徑為

5

，
圓的方程為：（x+2）²+（y-1）²=5；
即x²+y²+4x-2y=0．
（3）經(jīng)過A，B兩點且面積最小的圓即為以AB為直徑的圓，
與（2）的圓是相同的．
則所求圓的方程為：x²+y²+4x-2y=0．

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查圓系方程的有關(guān)知識，公共弦所在直線方程，考查計算能力．此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)出所求圓的方程，找出圓心坐標(biāo)，得出圓心在直線2x+y+4=0上時面積最小是解本題的關(guān)鍵．