3．在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在E上運(yùn)動，且保持|PA|+|PB|的值不變，求曲線E的方程．

分析 以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，確定P的軌跡為橢圓，即可求曲線E的方程．

解答 解：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），
由題意，可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=2$\sqrt{2}$，
∴P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴b=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．

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