Question

16．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，已知總收益R元（R指工廠售出產(chǎn)品的全部收入，它是成本與利潤之和），是年產(chǎn)量Q（單位：件）的函數(shù)．滿足關(guān)系式$R=\left\{\begin{array}{l}400Q-\frac{1}{2}{Q^2}\;\;\;（0≤Q≤400）\\ 80000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（Q＞400）\end{array}\right.$，求該廠每年生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 通過設(shè)該廠每年生產(chǎn)x件產(chǎn)品，總利潤為y元，利用利潤=收益-成本建立函數(shù)關(guān)系式，進而通過配方求出最大值．

解答 解：設(shè)該廠每年生產(chǎn)x件產(chǎn)品，總利潤為y元，
依題意，y=R-20000-100x=$\left\{\begin{array}{l}{400x-{\frac{1}{2}x}^{2}-20000-100x，}&{0≤x＜400}\\{80000-20000-100x，}&{x＞400}\end{array}\right.$，
整理得：y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+300x-20000，}&{0≤x＜400}\\{60000-100x，}&{x＞400}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x＜400時，y=-$\frac{1}{2}$（x-300）²+25000，
故當(dāng)x=300時，y取最大值25000；
當(dāng)x＞400時，y為遞減函數(shù)，
此時y取最大值60000-40000=20000；
綜上所述，當(dāng)x=300時，y取最大值25000，
答：該廠每年生產(chǎn)300件產(chǎn)品，總利潤最大，最大值是25000元．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．