Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若△是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或或.

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義可求得和，再根據(jù)，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，然后聯(lián)立，消掉（或）得到關(guān)于的一元二次方程。因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)所以判別式大于0，再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)題意可知且。用這兩個(gè)條件可列出兩個(gè)方程。如用直線垂直來解需討論斜率存在與否，為了省去討論可轉(zhuǎn)化為向量垂直問題用數(shù)量積公式求解， 注意討論根的取舍。
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．依題意
，所以．
又，所以．
于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                       5分
（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則
由得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/9/1gran2.png" style="vertical-align:middle;" />,得．        ①
設(shè)，線段中點(diǎn)為，則
于是．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7b/1/7wccx1.png" style="vertical-align:middle;" />，線段中點(diǎn)為，所以．
（1）當(dāng)，即且時(shí)，
，整理得．           ②
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/0/viti12.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以
，
整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，由②不合題意舍去.
由①②知，時(shí)，．
（2）當(dāng)時(shí)，
（ⅰ）若時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.
設(shè)，,依題意，若△為等腰直角三角形，則
.即，解得或.不合題意舍去，
即此時(shí)直線的方程為.
（ⅱ）若且時(shí)，即直線過原點(diǎn).依橢圓的對(duì)稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足△為等腰直角三角形.
綜上，直線的方程為或或