Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以?xún)蓚�(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為的正方形（記為）
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是直線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線斜率的取值范圍

Answer 1

(Ⅰ) 橢圓的方程為；（Ⅱ）直線斜率的取值范圍為．

解析試題分析：（I）求橢圓的方程，設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)正方形的面積為，求出橢圓中參數(shù)的值且判斷出參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)橢圓的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出的值，從而得到橢圓的方程．（II）設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用二次方程的韋達(dá)定理，可得到弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)部（包括邊界），得到中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的不等關(guān)系，即，從而可求的的范圍．
試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),焦距為2c，
由題設(shè)條件知，a²="8,b=c," 所以b²=a²=4
故橢圓C的方程為=1             (4分) 
（Ⅱ）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0），
顯然直線l的斜率k存在，所以直線的方程為y=k(x+4)。
如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),線段MN的

中點(diǎn)為G(x₀,y₀)， 由，
得(1+2k²)x²+16k²x+32k²-8=0      ①  （6分）
由D=(16k²)²-4(1+2k²)(32k²-8)>0
解得<k<      ②       （7分）
因?yàn)閤₁,x₂是方程①的兩根，所以x₁+x₂=，
于是x₀==,y₀=k(x₀+4)=   （8分）
∵x₀=≤0，所以點(diǎn)G不可能在y軸的右邊.     （9分）
又直線F₁B₂,F₁B₁方程分別為y=x+2,y=-x-2
所以點(diǎn)G在正方形Q內(nèi)（包括邊界）的充要條件為
即                 （10分）
解得≤k≤，此時(shí)②也成立．    （12分）
故直線l斜率的取值范圍是[,].    (13分)
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．