已知圓的圓心在坐標原點O,且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程;
(2)設點A為圓上一動點,AN軸于N,若動點Q滿足(其中m為非零常數),試求動點的軌跡方程.
(3)在(2)的結論下,當時,得到動點Q的軌跡曲線C,與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點,求面積的最大值.
(1);(2);(3).
解析試題分析:(1)求圓的方程,已經已知圓心坐標,只要再求得圓的半徑即可,而圓心的半徑等于圓心到切線的距離;(2)本題動點可以看作是由動點的運動成生成的,因此可以用動點轉移法求點的軌跡方程,具體方法就是設,,利用條件,求出與的關系,并且用來表示,然后把代入(1)中圓的方程,就能求得動點為的軌跡方程;(3)時,曲線的方程為,直線與垂直,其方程可設為,這條直線與曲線相交,由此可求得的取值范圍,而的面積應該表示為的函數,然后利用函數的知識或不等式的知識求得最值.
試題解析:(1)設圓的半徑為,圓心到直線距離為,則
所以,圓的方程為
(2)設動點,,軸于,
由題意,,所以 即: ,
將代入,得動點的軌跡方程.
(3)時,曲線方程為,設直線的方程為
設直線與橢圓交點
聯立方程得
因為,解得,且
又因為點到直線的距離
.(當且僅當即
時取到最大值)面積的最大值為.
考點:(1)圓的方程;(2)動點轉移法求軌跡方程;(3)直線與橢圓相交,面積的最值問題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:=1(a>b>0)經過點M(-2,-1),離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試判斷直線PQ的斜率是否為定值,證明你的結論.
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已知橢圓C1的中心在坐標原點,兩個焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),點A(2,3)在橢圓C1上,過點A的直線L與拋物線C2:x2=4y交于B,C兩點,拋物線C2在點B,C處的切線分別為l1,l2,且l1與l2交于點P.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)是否存在滿足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的點P?若存在,指出這樣的點P有幾個(不必求出點P的坐標);若不存在,說明理由.
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設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若·+·=8,求k的值.
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以橢圓的一個頂點為直角頂點作此橢圓的內接等腰直角三角形,試問:(1)這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在,寫出一個等腰直角三角形兩腰所在的直線方程。若不存在,說明理由。(2)這樣的等腰直角三角形若存在,最多有幾個?
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如圖,橢圓過點P(1, ),其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e=,M,N是直線x=4上的兩個動點,且·=0.
(1)求橢圓的方程;
(2)求|MN|的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點?請證明你的結論。
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已知橢圓(>>0)的離心率,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓相交于不同的兩點,已知點的坐標為( ,0),點(0,)在線段的垂直平分線上,且,求的值.
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橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1、F2,離心率為,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點.設直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2.若k≠0,試證明+為定值,并求出這個定值.
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已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程;
(2)以原點O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線,斜率為-,求雙曲線的離心率.
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