Question

如圖，橢圓過點P(1, )，其左、右焦點分別為F₁,F₂,離心率e＝,M,N是直線x＝4上的兩個動點，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點？請證明你的結論。

Answer 1

（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0)  .

解析試題分析：（1）因為：，且過點P(1, )，列出關于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；（2）設點M（4，m），N（4，n）寫出向量的坐標，利用向量的數量積得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，結合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0從而得出圓C過定點．
試題解析：（1）由已知可得
∴橢圓的方程為＝1                  4分
（2）設M（4，m），N（4，n），∵F₁(－1，0)，F₂(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0  6分
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2  ∴|MN|的最小值為2 10分
（3）以MN為直徑的圓C的方程為：(x－4)²＋(y－)＝()²  11分
令y＝0得(x－4)²＝－＝－mn＝15x＝4±
所以圓C過定點(4－，0)和(4＋，0)                      13分 
考點：1.圓與圓錐曲線的綜合；2.橢圓的簡單性質．