【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,它的離心率為,且與直線x+y-1=0相交于M、N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求橢圓的方程.
【答案】
【解析】試題分析:設(shè)橢圓方程(a>b>0),依題意橢圓方程可轉(zhuǎn)化為,與直線x+y﹣1=0聯(lián)立,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0,利用韋達(dá)定理可得到關(guān)于b的關(guān)系式,從而可求得b2與a2.
試題解析:
設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),
∵e=,∴a2=4b2,即a=2b.
∴橢圓方程為+=1.
把直線方程代入并化簡(jiǎn),得5x2-8x+4-4b2=0.
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),則
x1+x2=,x1x2= (4-4b2).
∴y1y2=(1-x1)(1-x2)
=1-(x1+x2)+x1x2= (1-4b2).
由于OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0.
解得b2=,a2=.
∴橢圓方程為x2+y2=1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若存在,對(duì)任意的,總有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,他們?nèi)〉玫某煽?jī)(滿(mǎn)分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學(xué)生的平均分是85,乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83,則x+y的值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有兩個(gè)分類(lèi)變量x與y,其一組觀測(cè)值如下面的2×2列聯(lián)表所示:
y1 | y2 | |
x1 | a | 20-a |
x2 | 15-a | 30+a |
其中a,15-a均為大于5的整數(shù),則a取何值時(shí),在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為x與y之間有關(guān)系?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面內(nèi)三個(gè)向量: =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1)
(1)若( +k )∥(2 ﹣ ),求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè) =(x,y),且滿(mǎn)足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= ,求 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2 cos2x﹣
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;
(2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其中a=7,若銳角A滿(mǎn)足f( ﹣ )= ,且sinB+sinC= ,求bc的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知命題p:不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,命題q:sin x+cos x>m.如果對(duì)于任意的x∈R,命題p是真命題且命題q為假命題,求m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正四面體的頂點(diǎn)分別在兩兩垂直的三條射線上,在下列命題中,錯(cuò)誤的是( )
A. 四面體是正三棱錐 B. 直線與平面相交 C. 異面直線和所成角是 D. 直線與平面所成的角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】東莞市某高級(jí)中學(xué)在今年4月份安裝了一批空調(diào),關(guān)于這批空調(diào)的使用年限 (單位:年, )和所支出的維護(hù)費(fèi)用(單位:萬(wàn)元)廠家提供的統(tǒng)計(jì)資料如下:
使用年限 (年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維護(hù)費(fèi)用(萬(wàn)元) | 6 | 7 | 7.5 | 8 | 9 |
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法原理求出維護(hù)費(fèi)用關(guān)于的線性回歸方程;
若規(guī)定當(dāng)維護(hù)費(fèi)用超過(guò)13.1萬(wàn)元時(shí),該批空調(diào)必須報(bào)廢,試根據(jù)(1)的結(jié)論求該批空調(diào)使用年限的最大值.
參考公式:最小二乘估計(jì)線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式:
, ,
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