【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,,其中.
(1)若,求數(shù)列的前項(xiàng)的和;
(2)若,.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②記數(shù)列的前項(xiàng)的和為,若無窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
(1)當(dāng),,求和時(shí)相鄰兩項(xiàng)組合得,然后再分組,利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式求和.
(2)①當(dāng),時(shí),由條件可得,即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列,分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得答案.
②由①可求出,由可得,則可以得到,再討論當(dāng)時(shí),成立,所以,時(shí)可用反證法說明不成立.
解:(1)當(dāng)時(shí),,記數(shù)列的前項(xiàng)的和為;
(2)①當(dāng),時(shí),由,所以
,
所以
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列,
所以,
所以;
②由①可知
設(shè)等比數(shù)列的公比為,
因?yàn)闊o窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足,
所以當(dāng)時(shí),,所以,
所以,
由,所以
當(dāng)時(shí),成立,所以;
當(dāng)時(shí),下證對(duì)任意不恒成立,
要證,即證
先證,從而得到,即
下證對(duì)任意的不恒成立,
令,所以要證對(duì)任意的不恒成立,
所以存在,當(dāng)時(shí),
所以對(duì)任意的不恒成立.
所以當(dāng)時(shí),對(duì)任意不恒成立,
所以,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式,并證明:.
(2)已知,且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若對(duì),都有()成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年9~12月某市郵政快遞業(yè)務(wù)量完成件數(shù)較2017年9~12月同比增長(zhǎng)25%,該市2017年9~12月郵政快遞業(yè)務(wù)量柱形圖及2018年9~12月郵政快遞業(yè)務(wù)量結(jié)構(gòu)扇形圖如圖所示,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,給出下列結(jié)論:
①2018年9~12月,該市郵政快遞業(yè)務(wù)量完成件數(shù)約1500萬件;
②2018年9~12月,該市郵政快遞同城業(yè)務(wù)量完成件數(shù)與2017年9~12月相比有所減少;
③2018年9~12月,該市郵政快遞國(guó)際及港澳臺(tái)業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)超過75%,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率,且圓過橢圓的上,下頂點(diǎn).
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線的斜率為,且直線交橢圓于、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),判斷直線與的斜率之和是否為定值,如果是,請(qǐng)求出此定值:如果不是,請(qǐng)說明理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線(為參數(shù)),曲線(為參數(shù)).
(1)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求劣弧的弧長(zhǎng);
(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最小值,及點(diǎn)坐標(biāo).
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