Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

解析試題分析：(Ⅰ) 先利用點(diǎn)到直線的距離公式求，再利用離心率求，最后利用參數(shù)的關(guān)系求；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)利用方程組消元后得根與系數(shù)關(guān)系，然后代入題中條件化簡(jiǎn)可求.
試題解析：(Ⅰ) 設(shè)F(c，0)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，其方程為x－y－c＝0，
∴O到l的距離為，
由已知，得＝，∴c＝1．
由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分
（Ⅱ）假設(shè)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有＝＋成立，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則P(x₁＋x₂，y₁＋y₂)．
由（Ⅰ），知C的方程為＋＝1．
由題意知，l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x＝ty＋1．
由，消去x并化簡(jiǎn)整理，得(2t²＋3)y²＋4ty－4＝0．
由韋達(dá)定理，得y₁＋y₂＝－，
∴x₁＋x₂＝ty₁＋1＋ty₂＋1＝t(y₁＋y₂)＋2＝－＋2＝，
∴P(，－)．
∵點(diǎn)P在C上，∴＋＝1，
化簡(jiǎn)整理，得4t⁴＋4t²－3＝0，即(2t²＋3)(2t²－1)＝0，解得t²＝．
當(dāng)t＝時(shí)，P(，－)，l的方程為x－y－＝0；
當(dāng)t＝－時(shí)，P(，)，l的方程為x＋y－＝0．
故C上存在點(diǎn)P(，±)，使＝＋成立，此時(shí)l的方程為x±y－＝0．   13分
考點(diǎn)：橢圓的基本概念，點(diǎn)到直線的距離，根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求的思想.