Question

2．把正整數(shù)排列成如圖甲三角形數(shù)陣，然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖乙的三角形數(shù)陣，再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列{a_n}，若a_n=2015，則n=1030．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析圖乙，可得其第k行有k個數(shù)，則前k行共有$\frac{k（k+1）}{2}$個數(shù)，第k行最后的一個數(shù)為k²，從第三行開始，以下每一行的數(shù)，從左到右都是公差為2的等差數(shù)列；進而由44²＜2015＜45²，可得2015出現(xiàn)在第45行，又由第45行第一個數(shù)為44²+1=1937，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得該行第40個數(shù)為2015，由前44行的數(shù)字數(shù)目，相加可得答案．

解答 解：分析圖乙，可得①第k行有k個數(shù)，則前k行共有$\frac{k（k+1）}{2}$個數(shù)，
②第k行最后的一個數(shù)為k²，
③從第三行開始，以下每一行的數(shù)，從左到右都是公差為2的等差數(shù)列，
又由44²=1936，45²=2025，則44²＜2015＜45²，
則2015出現(xiàn)在第45行，
第45行第一個數(shù)為44²+1=1937，這行中第$\frac{2015-1937}{2}+1$=40個數(shù)為2015，
前44行共有$\frac{44×45}{2}$=990個數(shù)，則2015為第990+40=1030個數(shù)．
故答案為：1030．

點評 本題考查歸納推理的運用，關(guān)鍵在于分析乙圖，發(fā)現(xiàn)每一行的數(shù)遞增規(guī)律與各行之間數(shù)字數(shù)目的變化規(guī)律，是中檔題．