Question

15．橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對稱性質．對于橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）有如下命題：AB是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則k_OM•k_AB=-$\frac{b^2}{a^2}$，為定值．那么對于雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）則有命題：AB是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則k_OM•k_AB=定值$\frac{b^2}{a^2}$．（在橫線上填上正確的結論）并證明你的結論．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），可得M的坐標，以及k_OM、k_AB，進而可得k_OM•k_AB的表達式，將將A、B坐標代入雙曲線方程，由點差法分析可得：$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{a^2}=\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{b^2}$，

解答 解：k_OM•k_AB為定值，且其值為k_OM•k_AB=$\frac{b^2}{a^2}$．
證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則有$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\\{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}.\end{array}\right.$…（3分）
k_OM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，即k_OM•k_AB=$\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}$，
將A、B坐標代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1可得：
$\frac{{{x_1}^2}}{a^2}-\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1$①
$\frac{{{x_2}^2}}{a^2}-\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1$②．…（5分）
①-②得：$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{b^2}$
即$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{a^2}=\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{b^2}$，…（9分）
$\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}=\frac{b^2}{a^2}$，即k_OM•k_AB=$\frac{b^2}{a^2}$．…（12分）

點評 本題考查雙曲線的性質，涉及類比推理的運用，解答時要聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用點差法分析求解．