Question

定義在R 上的函數(shù)f（x）滿足f（x+

3

2

）+f（x）=0．且函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，給出下列命題：
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期是

3

2

（2）函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

3

4

，0）對(duì)稱．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)定義在R 上的函數(shù)f（x）滿足f（x+

3

2

）+f（x）=0．可得f（x+3）+f(x+

3

2

)=0，即可得出周期性；
（2）由于f（-x）=f（3-x）=-f(x-

3

2

)，f（x）=-f(

3

2

-x)，而f(x-

3

2

)≠f(

3

2

-x)，可得f（-x）≠f（x），
（3）函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，可得f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，以

9

4

-x代換x可得f(

3

2

-x)+f(x)=0，即可判斷出．

解答： 解：（1）∵定義在R 上的函數(shù)f（x）滿足f（x+

3

2

）+f（x）=0．
∴f（x+3）+f(x+

3

2

)=0，∴f（x+3）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期T=3．
（2）f（-x）=f（3-x）=-f(x-

3

2

)，
而f（x）=-f(

3

2

-x)，
f(x-

3

2

)≠f(

3

2

-x)，
∴f（-x）≠f（x），
∴函數(shù)f（x）不是偶函數(shù)．
（3）∵函數(shù)y=f（x-

3

4

）為奇函數(shù)，
∴f(-x-

3

4

)=-f(x-

3

4

)，
以

9

4

-x代換x可得f（x-3）=-f(

3

2

-x)=f（x），
∴f(

3

2

-x)+f(x)=0，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

3

4

，0）對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．