Question

已知直線l₁的參數(shù)方程為

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

（t是參數(shù)），直線l₂的極坐標(biāo)方程為ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
（1）求直線l₁與直線l₂的交點(diǎn)P的坐標(biāo)
（2）若直線l過點(diǎn)P，且與圓C：

x=5cosθ y=5sinθ

（θ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=8，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把極坐標(biāo)方程以及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，通過求解方程即可得到l₁與l₂的交點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；
（2）由題意可得圓的方程x²+y²=25，若設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t為參數(shù))，代入圓的方程化簡可得|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，解出方程即可得到直線的斜率進(jìn)而得到直線l的方程．

解答：解：（1）∵直線l₂的極坐標(biāo)方程為ρ（2sinθ+cosθ）+6=0
∴直線l₂的普通方程為2y+x+6=0
又∵直線l₁的參數(shù)方程為

x=-3+ 2 2 t y=- 3 2 + 2 2 t

∴(-3+

2

t)+(-3+

2

2

t)+6=0
∴t=0，∴

x=-3 y=- 3 2

∴P(-3，-

3

2

)
（2）由圓C的參數(shù)方程

x=5cosθ y=5sinθ

⇒x2+y2=25，
設(shè)直線l的參數(shù)方程為①

x=-3+tcosα y=- 3 2 +tsinα

(t為參數(shù))，①代入圓的方程x²+y²=25
得4t²-12（2cosα+sinα）t-55=0，
∴△=16[9（2cosα+sinα）²+55]＞0，
所以方程有兩相異實(shí)數(shù)根t₁、t₂，
∴|AB|=|t1-t2|=

9(2cosα+sinα)2+55

=8，
化簡有3cos²α+4sinαcosα=0，解之cosα=0或tanα=-

3

4

，
從而求出直線l的方程為x+3=0或3x+4y+15=0．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，求出|AB|，是解題的關(guān)鍵．