Question

5．如果雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1右支上總存在到雙曲線的中心與右焦點(diǎn)距離相等的兩個(gè)相異點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 先設(shè)出雙曲線右支任意一點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)到右焦點(diǎn)的距離和到中心的距離相等，利用兩點(diǎn)間距離公式建立等式求得x，進(jìn)而利用x的范圍確定a和c的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得e的范圍，同時(shí)根據(jù)雙曲線的離心率等于2時(shí)，右支上只有一個(gè)點(diǎn)即頂點(diǎn)到中心和右焦點(diǎn)的距離相等，所以不能等于2，最后綜合求得答案．

解答 解：設(shè)雙曲線右支任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）則x≥a，
∵到右焦點(diǎn)的距離和到中心的距離相等，
由兩點(diǎn)間距離公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=$\frac{c}{2}$，
∵x≥a，
∴$\frac{c}{2}$≥a，得e≥2，
又∵雙曲線的離心率等于2時(shí)，右支上只有一個(gè)點(diǎn)即頂點(diǎn)到中心和右焦點(diǎn)的距離相等，
所以不能等于2．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是求得a和c的不等式關(guān)系，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的思想．