求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分；

(2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體．

(1)已知：平行六面體AC1；

求證：AC1、BD1、CA1、DB1交于一點(diǎn)且互相平分．

 

答案：
解析：

證明：∵AA1BB1，BB1CC1，

∴AA1CC1．

∴AA1C1C是平行四邊形．

∴CA1與AC1相交，且互相平分．

設(shè)交點(diǎn)為O，即CA1過AC1的中點(diǎn)O．

同理可證BD1與AC1、DB1與AC1也相交，且互相平分，交點(diǎn)也是O．

∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點(diǎn)，且互相平分．

(2)已知：平行六面體AC1，對(duì)角線A1C、B1D、C1A、D1B相等；

求證：平行六面體AC1是長方體．

證明：∵平行六面體AC1的對(duì)角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形，且它們的對(duì)角線A1C、B1D、C1A、D1B都相等，

∴對(duì)角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形．

由此可得CC1⊥A1C1，BB1⊥B1D1．

又BB1∥CC1，∴BB1⊥A1C1，

∴BB1⊥平面A1C1，

∴平行六面體A1C是直平行六面體．

同理可證CB⊥平面A1B，則BC⊥AB．

∴平行四邊形ABCD是矩形．

∴直平行六面體AC1是長方體．

點(diǎn)評(píng)：證明平行六面體對(duì)角線互相平分就是證O是各對(duì)角線的中點(diǎn)．當(dāng)平行六面體的對(duì)角線相等時(shí)，平行六面體即為長方體．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時(shí)，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點(diǎn)F在何處時(shí)，EF⊥AD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分；

(2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體．

(1)已知：平行六面體AC1；

求證：AC1、BD1、CA1、DB1交于一點(diǎn)且互相平分．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省荊州中學(xué)2008高考復(fù)習(xí)立體幾何基礎(chǔ)題題庫二(有詳細(xì)答案)人教版 人教版 題型：047

求證：(1)平行六面體的各對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在這一點(diǎn)互相平分．

(2)對(duì)角線相等的平行六面體是長方體．

已知：平行六面體ABCD－A1B1C1D1

求證：(1)對(duì)角線AC1、BD1、CA1、DB1相交于一點(diǎn)，且在這點(diǎn)互相平分；

(2)若AC1＝BD1＝CA1＝DB1時(shí)，該平行六面體為長方體．

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