Question

已知函數(shù).
(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(3) 求證：，(其中，是自然對(duì)數(shù)的底).

Answer 1

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2) ．(3)詳見解析.

試題分析：本小題主要通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用問題，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)內(nèi)容，考查考生的運(yùn)算求解能力，推理論證能力，其中重點(diǎn)對(duì)導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的描述進(jìn)行考查，本題是一道難度較高且綜合性較強(qiáng)的壓軸題，也是一道關(guān)于數(shù)列拆分問題的典型例題，對(duì)今后此類問題的求解有很好的導(dǎo)向作用. (1)代入的值，明確函數(shù)解析式，并注明函數(shù)的定義域，然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用構(gòu)造函數(shù)思想，構(gòu)造，然后利用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為只需，下面通過對(duì)進(jìn)行分類討論進(jìn)行研究函數(shù)的單調(diào)性，明確最值進(jìn)而確定的取值范圍.(3)首先利用裂項(xiàng)相消法將不等式的坐標(biāo)進(jìn)行拆分和整理，然后借助第二問的結(jié)論進(jìn)行放縮證明不等式.
試題解析：：(1) 當(dāng)時(shí)，，
，
由解得，由解得.
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.          (4分)
(2) 因函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，
則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，、
設(shè)()，只需即可．
由，
(i) 當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立． 
(ii) 當(dāng)時(shí)，由，因，所以，
① 若，即時(shí)，在區(qū)間上，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上無最大值，當(dāng)時(shí)，  ，此時(shí)不滿足條件；
② 若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在上無最大值，當(dāng)時(shí)， ，不滿足條件．
(iii) 當(dāng)時(shí)，由，∵，∴，
∴，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．                             (8分)
(3) 據(jù)(2)知當(dāng)時(shí)，在上恒成立
(或另證在區(qū)間上恒成立)，
又，
因此



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.                     (12分)