Question

18．已知x，y∈R，$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{i}$+（y+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{i}$+（y-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上P點(diǎn)的切線與橢圓C₁交于兩點(diǎn)M、N，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），記線段MN與PA的中點(diǎn)分別為G、H，當(dāng)GH與y軸平行時(shí)，求h的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知兩向量的模的和等于4，可得點(diǎn)M（x，y）的軌跡C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，并求得a與c，結(jié)合隱含條件求得b，則點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)P（t，t²+h），利用導(dǎo)數(shù)可得MN的方程為y=2tx-t²+h，代入橢圓方程，消元可得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，從而有△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0；設(shè)出M、N的坐標(biāo)，利用線段MN與PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，可得h與t的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求得h的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{i}$+（y+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{i}$+（y-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4，
∴點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)（ 0，$\sqrt{3}$），（0，-$\sqrt{3}$）的距離之和為4，
即2a=4，a=2，又c=$\sqrt{3}$，∴b²=a²-c²=4-3=1．
故點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)P（t，t²+h），由 y′=2x，
拋物線C₂在點(diǎn)P處的切線的斜率為 k=y′|_x=t=2t，
∴MN的方程為y=2tx-t²+h，
代入橢圓方程得：4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
化簡(jiǎn)得 4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0．
又MN與橢圓C₁有兩個(gè)交點(diǎn)，故△=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₀，則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}$，
設(shè)線段PA的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x′=$\frac{1+t}{2}$，
由已知得x₀=x′，即$\frac{t（{t}^{2}-h）}{2（1+{t}^{2}）}=\frac{1+t}{2}$，
顯然t≠0，∴h=-（t+$\frac{1}{t}$+1），
當(dāng)t＞0時(shí)，t+$\frac{1}{t}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≤-3不符合①式，故舍去；
當(dāng)t＜0時(shí)，（-t）+（-$\frac{1}{t}$）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=-1時(shí)取得等號(hào)，此時(shí)h≥1，滿足①式．
綜上，h的最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由向量模的運(yùn)算求解軌跡方程問題，考查直線l與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，考查橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)關(guān)系式的建立，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)關(guān)系式，屬于中高檔題．