Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短軸長(zhǎng)為4，F(xiàn)₁、F₂為橢圓左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)B為下頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上第一象限的點(diǎn)．
①若M為線段BF₁上一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，求直線OP的斜率；
②設(shè)點(diǎn)O到直線PF₁、PF₂的距離分別為d₁、d₂，求證：$\frac{{y}_{0}}{kbrsjhk_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{mvrqhsc_{2}}$為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短軸長(zhǎng)為4，求出a，b，c．即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①設(shè)M（t，-2t-2），由$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{6}t}\\{{y}_{0}=2\sqrt{6}（t+1）}\end{array}\right.$，代入橢圓方程得：$\frac{6{t}^{2}}{5}$+6（t+1）²=1，求出M的坐標(biāo)，即可求直線OP的斜率；
②求出點(diǎn)O到直線PF₁、PF₂的距離分別為d₁、d₂，利用橢圓的定義證明：$\frac{{y}_{0}}{kzrhyeo_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{bkmtkfu_{2}}$為定值．

解答 解：（1）由題意知，2b=4，∴b=2，又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且a²=b²+c²，
解得：a=$\sqrt{5}$，c=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；             …4分
（2）①由（1）知：B（0，-2），F(xiàn)₁（-1，0），∴BF₁：y=-2x-2         …5分
設(shè)M（t，-2t-2），由$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\sqrt{6}t}\\{{y}_{0}=2\sqrt{6}（t+1）}\end{array}\right.$                …7分
代入橢圓方程得：$\frac{6{t}^{2}}{5}$+6（t+1）²=1，
∴36t²+60t+25=0，∴（6t+5）²=0，∴t=-$\frac{5}{6}$，∴M（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{3}$）     …9分
∴OM的斜率為$\frac{2}{5}$，即直線OP的斜率為$\frac{2}{5}$；                        …10分
②由題意，PF₁：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），即y₀x-（x₀+1）y+y₀=0             …11分
∴d₁=$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}+1）^{2}}}$，同理可得：d₂=$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}+（{x}_{0}-1）^{2}}}$
∴$\frac{{y}_{0}}{1lmlmfy_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{t0lblas_{2}}$=PF₁+PF₂=2a=$2\sqrt{5}$…15分

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．