Question

已知f（x）=2x-x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（I）過P（0，2）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程；
（II）設h（x）=f（x）-g（x）在定義域上為減函數(shù)，且其導函數(shù)y=h′（x）存在零點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

解：（I）∵f（0）=0，∴P（0，2）不在曲線y=f（x）上，設切點為Q（x₀，y₀），
∵f′（x）=2-x，∴k=f′（x₀）=2-x₀，且y₀=f（x₀）=2x₀-，
∴切線方程為：y-2x₀+=（2-x₀）（x-x₀），即y=（2-x₀）x+，
∵（0，2）在切線上，代入可得：x₀=±2，
∴切線方程為y=2或y=4x+2；
（II）h（x）=2x-x²-log_a^x在（0，+∞）遞減，
∴h′（x）=2-x-≤0在x＞0恒成立，
∵x＞0，∴≥2x-x²在x＞0恒成立，
由x＞0，得到2x-x²∈（-∞，1]，∴≥1，即0＜lna≤1①，
又h′（x）=2-x-存在零點，即方程lna•x²-2lna•x+1=0有正根，
∴△=4ln²a-4lna≥0，∴l(xiāng)na≥1或lna＜0②，
由①②，得lna=1，∴a=e．
分析：（I）把點P的坐標代入f（x）中，判斷得到點P不在曲線y=f（x）上，然后設出切點坐標，求出f（x）的導函數(shù)，把橫坐標代入導函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，把切點橫坐標代入f（x）中得到切點的縱坐標，確定出切點坐標，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線方程即可；
（II）由h（x）在x大于0是減函數(shù)，得到導函數(shù)小于等于0恒成立，由x大于0得到≥2x-x²在x＞0恒成立，利用x的范圍求出2x-x²的最大值，進而得到大于等于求出的最大值，化簡后得到一個關系式，記作①，又導函數(shù)y=h′（x）存在零點，得到lna•x²-2lna•x+1=0有正根，即根的判別式大于等于0，，列出關于lna的不等式，求出不等式的解集，記作②，由①②即可得到lna的值，進而得到a的值．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的增減性，掌握不等式恒成立時滿足的條件，是一道中檔題．