Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1（a＞0）$的左右焦點，點P是雙曲線上任一點，且||PF₁|-|PF₂||=2，頂點在原點且以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線為L．
（Ⅰ）求雙曲線C的漸近線方程和拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過拋物線L的準(zhǔn)線與x軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的斜率等于多少時，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線L的焦點？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由雙曲線的定義可知，2a=2，即a=1，即可得到雙曲線C的漸近線方程，即可求出拋物線L的焦點坐標(biāo)為A（1，0），即可求出拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的斜率為k，則其方程為y=k（x+1）．聯(lián)立方程組，得到得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理和MF⊥NF，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，2a=2，即a=1．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$．
∴雙曲線的漸近線方程 y=±3x．
雙曲線的右頂點坐標(biāo)為A（1，0），即拋物線L的焦點坐標(biāo)為A（1，0），
∴拋物線L的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x，
（Ⅱ）拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與對稱軸的交點為（-1，0）．
設(shè)直線MN的斜率為k，則其方程為y=k（x+1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0．
∵直線MN與拋物線交于M、N兩點，
∴△=4（k²-2）²-4k⁴＞0，解得-1＜k＜1．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），拋物線焦點為F（1，0），
∵以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線焦點，∴MF⊥NF．
∴$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}•\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=-1$，即y₁y₂+x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
又${x_1}+{x_2}=-\frac{{2（{k^2}-2）}}{k^2}$，x₁x₂=1，$y_1^2y_2^2=4{x_1}•4{x_2}=16$且y₁，y₂同號，
∴$\frac{{2（{k^2}-2）}}{k^2}=-6$．解得${k^2}=\frac{1}{2}$，∴$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即直線的斜率等于$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線的焦點．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，韋達(dá)定理，考查分析問題、解決問題及計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．