Question

9．設(shè)log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的兩根，求log${\;}_{\frac{a}}$c的值．

Answer 1

分析 log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的兩根，可得log_ac+log_bc=4，log_ac•log_bc=1．可得lga=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lgb=（2-$\sqrt{3}$）lgc；或lgb=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lga=（2-$\sqrt{3}$）lgc．即可得出．

解答 解：∵log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的兩根，
∴l(xiāng)og_ac+log_bc=4，log_ac•log_bc=1．
∴$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=4，$\frac{lgc}{lga}•\frac{lgc}{lgb}$=1．
∴l(xiāng)ga=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lgb=（2-$\sqrt{3}$）lgc；
或lgb=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lga=（2-$\sqrt{3}$）lgc．
∴l(xiāng)ga-lgb=2$\sqrt{3}$lgc或lga-lgb=-2$\sqrt{3}$lgc
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{a}}$c=$\frac{lgc}{lgb-lga}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$或-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．