【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,四邊形是直角梯形,,,.
(Ⅰ)證明:平面.
(Ⅱ)若平面平面,為的中點,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II)
【解析】
(Ⅰ)取的中點,連接,,結(jié)合已知條件,得四邊形為平行四邊形,進而得為平行四邊形,由線面平行的判定定理得CE∥平面ADF.
(Ⅱ)取CD中點N,以A為原點,AN為x軸,AB為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面ACH與平面ABEF所成銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)取的中點,連接,,如圖所示,因為,四邊形是直角梯形,
得且,所以四邊形為平行四邊形,即且.
又因為四邊形是菱形,所以,進而,得為平行四邊形,
即有,又平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)取的中點,在菱形中,,可得.因為平面平面,
平面平面,平面,,所以平面.
以為坐標原點,AN為x軸,AB為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.
故,,,,,,.
設(shè)平面的一個法向量為,則有即
令可得.
易知平面的一個法向量為.
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則,
即所求二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機構(gòu)組織語文、數(shù)學(xué)學(xué)科能力競賽,按照一定比例淘汰后,頒發(fā)一二三等獎.現(xiàn)有某考場的兩科考試成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示,其中數(shù)學(xué)科目成績?yōu)槎泉劦目忌?/span>人.
(Ⅰ)求該考場考生中語文成績?yōu)橐坏泉劦娜藬?shù);
(Ⅱ)用隨機抽樣的方法從獲得數(shù)學(xué)和語文二等獎的學(xué)生中各抽取人,進行綜合素質(zhì)測試,將他們的綜合得分繪成莖葉圖,求樣本的平均數(shù)及方差并進行比較分析;
(Ⅲ)已知本考場的所有考生中,恰有人兩科成績均為一等獎,在至少一科成績?yōu)橐坏泉劦目忌,隨機抽取人進行訪談,求兩人兩科成績均為一等獎的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是“恰當回歸方程”.
(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”;
(2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?
附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的數(shù)陣中每一行從左到右均是首項為1,項數(shù)為n的等差數(shù)列,設(shè)第行的等差數(shù)列中的第k項為2,3,,,公差為,若,,且,,,,也成等差數(shù)列.
Ⅰ求;
Ⅱ求關(guān)于m的表達式;
Ⅲ若數(shù)陣中第i行所有數(shù)之和,第j列所有數(shù)之和為,是否存在i,j滿足,使得成立?若存在,請求出i,j的一組值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列1,1,1,2,2,1,2,4,3,1,2,4,8,4,1,2,4,8,16,5,…,其中第一項是,第二項是1,接著兩項為,,接著下一項是2,接著三項是,,,接著下一項是3,依此類推.記該數(shù)列的前項和為,則滿足的最小的正整數(shù)的值為( )
A.65B.67C.75D.77
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某人在微信群中發(fā)了一個8元“拼手氣”紅包,被甲、乙、丙三人搶完,若三人均領(lǐng)到整數(shù)元,且每人至少領(lǐng)到1元,則甲領(lǐng)到的錢數(shù)不少于其他任何人的概率為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,離心率等于,它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知、()是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,且直線的斜率為.
①求四邊形APBQ的面積的最大值;
②求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2014·長春模擬)對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖.
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?
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