Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)在[0，7]上有1和6兩個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)與函數(shù)都是偶函數(shù)，則在[0，2019]上的零點(diǎn)至少有（ ）個(gè)

A.404B.406C.808D.812

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)y=f（x+2）與y=f（x+7）都是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）=f（10+x），得到函數(shù)是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求解．

由題意，函數(shù)y=f（x+2）與y=f（x+7）都是偶函數(shù)，

可得函數(shù)f（x）關(guān)于x=2和x=7對(duì)稱，即

所以，可得，所以10是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，

又由定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)y=f（x）在[0，7]上有1和6兩個(gè)零點(diǎn)，可知3和8也是函數(shù)的零點(diǎn)，

可得f（x）=0的根為10n+1或10n+3或10n+6或10n+8的形式，

所以0≤10n+1≤2019，解得-0.1≤n≤201.8，共201個(gè)，

由0≤10n+3≤2019，解得-0.3≤n≤201.6，共201個(gè)，

由0≤10n+6≤2019，解得-0.6≤n≤201.3，共201個(gè)，

由0≤10n+8≤2019，解得-0.8≤n≤201.1，共201個(gè)，

故函數(shù)y=f（x）在[0，2019]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為808個(gè)，

故選：C．