Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y²=4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0），設(shè)M為拋物線C上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線MF交拋物線C于另一點(diǎn)N，鏈接ME，NE并延長分別交拋物線C與點(diǎn)P，Q．
（1）當(dāng)MN⊥Ox時(shí)，求直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)直線MN，PQ的斜率存在且分別記為k₁，k₂時(shí)，求證：k₁=2k₂．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線MN的方程，代入拋物線方程求出M、N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求得直線ME的方程，和拋物線方程聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，則直線PQ的方程可求，直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可求；
（2）分別設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），再設(shè)直線MN、MP、NQ的直線方程，分別和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到y(tǒng)₃=2y₂，x₃=4x₂，y₄=2y₁，x₄=4x₁．代入斜率公式整理得答案．

解答： 解：（1）拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）．
當(dāng)MN⊥Ox時(shí)，直線MN的方程為 x=1．
將x=1代入拋物線方程y²=4x，得y=±2．
不妨設(shè)M（1，2），N（-1，2），
則直線ME的方程為y=-2x+4，
由

y=-2x+4  y2=4x

，解得x=1或x=4，于是得P（4，-4）．
同理得Q（4，4），所以直線PQ的方程為x=4．
故直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（4，0）；
（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，
并設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）．
由

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，
于是y₁y₂=-4 ①，從而x1x2=

y12

4

•

y22

4

=1②．
設(shè)直線MP的方程為x=ty+2，
由

x=ty+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
∴y₁y₃=-8  ③，x₁x₃=4  ④．
設(shè)直線NQ的方程為x=ty+2，
由

x=ty+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
于是y₂y₄=-8  ⑤，x₂x₄=4  ⑥．
由①②③④⑤⑥，得y₃=2y₂，x₃=4x₂，y₄=2y₁，x₄=4x₁．k2=

y4-y3

x4-x3

=

2y1-2y2

4x1-4x2

=

1

2

•

y1-y2

x1-x2

=

1

2

k1 ，
即k₁=2k₂．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是高考試卷中的壓軸題．