Question

已知A={x|x²+6x+8≤0}，B={x|kx²+（2k-4）x+k-4＞0，x∈R}，若A∪B=B，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：求出A中不等式的解集確定出A，B中的不等式分k=0，k＞0，k＜0三種情況表示出解集，由A與B的并集為B，得到A為B的子集，即可確定出k的范圍．

解答：解：由A中的不等式x²+6x+8≤0，即（x+2）（x+4）≤0，
解得：-4≤x≤-2，即A=[-4，-2]；
集合B中，當k=0時，代入不等式得：-4x-4＞0，
解得：x＜-1，即B=（-∞，-1），滿足A∪B=B；
當k＞0時，不等式變形為（kx+k-4）（x+1）＞0，
可得-

k-4

k

=-1+

4

k

＞-1時，此時解集為x＞-

k-4

k

或x＜-1，
∵A∪B=B，
∴A⊆B，滿足題意；
當k＜0時，-

k-4

k

=-1+

4

k

＜-1，此時解集為x＞-1或x＜-

k-4

k

，
∵A∪B=B，
∴A⊆B，
∴-

k-4

k

＞-2，即k-4＞2k，
解得：k＜-4，
則滿足題意k的范圍為k＜-4或k≥0．

點評：此題考查了并集及其運算，利用了分類討論的思想，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．