Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)則知f'（1）=0，代入導(dǎo)函數(shù)即可；
（2）要求函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，則要求導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（-1，0）大于等于零即可，另外要注意對(duì)a的討論；
（3）要求函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，即求函數(shù)g（x）的極值并將之與函數(shù)端點(diǎn)值
g（0），g（2）進(jìn)行比較大小，得出在函數(shù)g（x）[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2），再根據(jù)條件在x=0處取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可

解答：解：（1）∵f（x）=ax³-3x²
∴f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=0，
∴a=2
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²在區(qū)間（-1，0）上是增函數(shù)，∴a=0符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f'（x）=3ax(x-

2

a

)，令f'（x）=0得：x₁=0，x₂=

2

a

當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)任意x∈（-1，0），f'（x）＞0，
∴a＞0 （符合題意）
當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈(

2

a

，0)時(shí)，f'（x）＞0，
∴

2

a

≤-1，∴-2≤a＜0（符合題意）
綜上所述，a≥-2．
（3）g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，
a＞0時(shí)，g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，x∈[0，2]．
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g'（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0（*），顯然有△=4a²+4＞0．
設(shè)方程（*）的兩個(gè)根為x₁，x₂，由（*）式得x1x2=-

2

a

＜0，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂．
當(dāng)0＜x₂＜2時(shí)，g（x₂）為極小值
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
當(dāng)x₂≥2時(shí)，由于g（x）在[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)
所以最大值為g（0），所以在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
又已知g（x）在x=0處取得最大值
所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24，解得a≤

6

5

，又因?yàn)閍＞0，所以a∈(0，

6

5

]．
故答案為：（1）a=2；（2）a≥-2；（3）a∈(0，

6

5

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 的大小，從而得到函數(shù)的最值，另外還有分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．