如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
②函數(shù)y=
2-
x2
2
在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=
2
,f′(ξ)=-
2
2
;
③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(
x1+x2
2
)恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=
x1+x2
2

其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是
 
分析:對每一個命題進(jìn)行逐一判定是否滿足函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),對于①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行判定,對于②,函數(shù)y在(0,2)上連續(xù)且可導(dǎo),代值計算可得兩端點(diǎn)連線的斜率存在x=
2
時的導(dǎo)數(shù)值與之相等,對于③,舉反例進(jìn)行判定即可,對于④,只能保證f(x)是上凸函數(shù),不能保證中值一定在中點(diǎn)處進(jìn)行判定.
解答:解:對于①,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義立即可得正確;
對于②,函數(shù)y在(0,2)上連續(xù)且可導(dǎo),代值計算可得兩端點(diǎn)連線的斜率為-
2
2

又y'=
1
2
(2-
x2
2
)-
1
2
(-x)
,當(dāng)x=
2
時,y'=-
2
2
,故②正確.
對于③,兩端點(diǎn)連線斜率為3
而f'(x)=3x2,令3x2=3,x=±1,在(-1,2)內(nèi)只有一個中值ξ=1,故③錯誤;
對于④,
1
2
[f(x1)+f(x2)]<f(
x1+x2
2
)只能保證f(x)是上凸函數(shù),不能保證中值一定在中點(diǎn)處.④錯誤
故答案為:①②
點(diǎn)評:本題題意比較新穎,主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及函數(shù)恒成立問題和直線的斜率,屬于中檔題.
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(2013•寧波二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.
(Ⅰ)如果x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值,使得函數(shù)f(x)同時具備如下的兩個性質(zhì):
①對于任意實(shí)數(shù)x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
)
恒成立;
②對于任意實(shí)數(shù)x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
②函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=數(shù)學(xué)公式,f′(ξ)=-數(shù)學(xué)公式
③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有數(shù)學(xué)公式[f(x1)+f(x2)]<f(數(shù)學(xué)公式)恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=數(shù)學(xué)公式
其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是 ________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.
(Ⅰ)如果x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)a的值,使得函數(shù)f(x)同時具備如下的兩個性質(zhì):
①對于任意實(shí)數(shù)x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,數(shù)學(xué)公式恒成立;
②對于任意實(shí)數(shù)x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,數(shù)學(xué)公式恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年四川省成都市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
②函數(shù)y=在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=,f′(ξ)=-
③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有[f(x1)+f(x2)]<f()恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=
其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是    

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