Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=4，AB=2，E是BC的中點，D在棱AA₁上．
（Ⅰ）求異面直線AE與BC₁所成角；
（Ⅱ）若AE∥平面DBC₁，求AD長；
（Ⅲ）在棱AA₁上是否存在點D，使得二面角D-BC₁-B₁的大小等于60°，若存在，求AD的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取B₁C₁中點E₁，建立坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE與BC₁所成角是90°，
（Ⅱ）求出面DBC₁的法向量，由AE∥平面BDC₁，得

AE

•

n

=0，由此能求出AD．
（Ⅲ）

AE

=(0，-

3

，0)是平面BB₁C₁的法向量，由此得cos60°=|cos＜

AE

，

n

＞|，從而推導(dǎo)出在棱AA₁上的點D是不存在的．

解答： 解：（Ⅰ）取B₁C₁中點E₁，建立如圖所示坐標(biāo)系，
則E（0，0，0），A(0，

3

，0)，B（1，0，0），
A1(0，

3

，4)，B₁（1，0，4），C₁（-1，0，4），
設(shè)D(0，

3

，a)，
∴

AE

=(0，-

3

，0)，

C1D

=(1，

3

，a-4)，

C1B

=(2，0，-4)，
∵cos＜

AE

，

C1B

＞=0，
∴異面直線AE與BC₁所成角是90°，
（Ⅱ）設(shè)

n

=（x，y，z）是面DBC₁的法向量，
則

C1D • n =x+ 3 y+(a-4)z=0 C1B • n =2x-4z=0

，取z=1，得

n

=（2，

2-a

3

，1），
∵AE∥平面BDC₁，∴

AE

•

n

=0+2-a+0=0，
解得a=2，即AD=2．
（Ⅲ）∵

AE

=(0，-

3

，0)是平面BB₁C₁的法向量，
∴二面角D-BC₁-B₁的大小等于60°，
∴cos60°=|cos＜

AE

，

n

＞|，
即

1

2

=|

2-a

3 5+( 2-a 3 )2

|，
解得a=2+

5

，
∵點D在棱AA₁上，∴a≤4，而2+

5

＞4，
∴在棱AA₁上的點D是不存在的．

點評：本題考查異面直線所成角的求法，考查線段長的求法，考查是否存在使得二面角的大小等于60°的點的判斷與求法，解題時要注意向量法的合理運用．