Question

分別求實數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x²+2x+m+1=0
①有兩個負根
②有兩個實根，且一根比2大，另一根比2小
③有兩個實根，且都比1大．

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得滿足條件的m的范圍．

解答： 解：①若關(guān)于x的方程x²+2x+m+1=0有兩個負根，則

△=-4m≥0 x1+x2=-2＜0 x1•x2=m+1＞0

，求得-1＜m≤0．
②若關(guān)于x的方程x²+2x+m+1=0有兩個實根，且一根比2大，另一根比2小，令f（x）=x²+2x+m+1，
則由f（2）=m+9＜0，求得m＜-9．
③若關(guān)于x的方程x²+2x+m+1=0有兩個實根，且都比1大，則由二次函數(shù)f（x）=x²+2x+m+1 的對稱軸為x=-1可得，
關(guān)于x的方程x²+2x+m+1=0有兩個實根，且都比1大是不可能的，故m的范圍為∅．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．