Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+a，a∈R．若對于區(qū)間[0，

π

2

]上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得0≤cosx≤1，f（x）=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+a+1，分①當(dāng)

a

2

＜0、②當(dāng)0≤

a

2

≤2、③當(dāng)

a

2

＞2三種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：函數(shù)f（x）=1-cos²x+acosx+a=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+a+1，a∈R．
對于區(qū)間[0，

π

2

]上的任意一個x，都有0≤cosx≤1，
再由f（x）≤1成立，可得f（x）的最大值小于或等于1．
分以下情形討論：
①當(dāng)

a

2

＜0，則cosx=0時函數(shù)f（x）取得最大值為a+1，再由a+1≤1解得a≤0，
綜上可得，a＜0．
②當(dāng)0≤

a

2

≤2，則cosx=

a

2

時函數(shù)f（x）取得最大值為

a2

4

+a+1，
再由

a2

4

+a+1≤1，求得-4≤a≤0．
綜上可得，a=0．
③當(dāng)

a

2

＞2，則cosx=1時函數(shù)f（x）取得最大值為2a，再由2a≤1得a≤

1

2

．
綜上可得，a無解．
綜合①②③可得，a的范圍為（-∞，0]，
故答案為：（-∞，0]．

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．