Question

如圖，互不相同的點A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．設OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，則a₉=（　�。�

• A、

  19

• B、

  22

• C、5
• D、2

  7

Answer 1

考點：平行線分線段成比例定理

專題：立體幾何

分析：本題可以根據(jù)所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．然后利用所有的三角形都相似，面積比等于相似比的平方，得出一系列的等式，然后利用累乘法求得通項，進一步求得結果．

解答： 解：依題意：互不相同的點A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分別在角O的兩條邊上．
則令s△OA1B1=m（m＞0）
∵所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積均相等．
∴利用所有的三角形都相似，面積比等于相似比的平方
若a₁=1，a₂=2，則令s△OA1B1=m（m＞0）
∴s梯形A1B1A2B2=3m
∴當n≥2時  

an

an-1

=

OAn

OAn-1

=

m+(n-1)•3m m+(n-2)•3m

=

3n-2 3n-5

故

a

2 n

=

3n-2 3n-5 a

2 n-1

a

2 n-1

=

3n-5

3n-8

a

2 n-2

…

a

2 2

=

4 1 a

2 1

以上各式累乘可得：

a

2 n

=(3n-2

)a

2 1

   由于a₁=1
∴an=

3n-2

∴a₉=5
故選：C

點評：本題應用知識較多：平行線分線段成比例定理，相似三角形面積比等于相似比的平方，數(shù)列通項中的累乘法，