Question

定義區(qū)間（m，n），[m，n]，[m，n），（m，n]的長度均為n-m，其中n＞m，已知關(guān)于實數(shù)x的不等式組

5 x+1 ＞1 log2x+log2(tx+t)＜2

的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度之和為4，則實數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  5

  ）
• B、（0，

  1

  5

  ]
• C、（0，

  1

  3

  ]
• D、（0，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,新定義,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先解關(guān)于x的不等式組，解出兩個不等式的解集，求兩個不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，4），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為4，寫出不等式組進(jìn)行討論，得到結(jié)果．

解答： 解：先解不等式

5

x+1

＞1，整理得

4-x

x+1

＞0，即（x+1）•（x-4）＜0，
所以不等式

5

x+1

＞1的解集A=（-1，4）
設(shè)不等式log₂x+log₂（tx+t）＜2的解集為B，則不等式組的解集為A∩B．
不等式log₂x+log₂（tx+t）＜log₂4 等價于

x＞0 tx+t＞0 tx2+tx-4＜0

．
又A∩B⊆（0，4），不等式組的解集的各區(qū)間長度和為4，所以不等式組

tx+t＞0 tx2+tx-4＜0

，當(dāng)x∈（0，4）時，恒成立．   
當(dāng)x∈（0，4）時，不等式tx+t＞0恒成立，得t＞0．①
當(dāng)x∈（0，4）時，不等式tx²+tx-4＜0恒成立，即t＜

4

x2+x

恒成立．    
而當(dāng)x∈（0，4）時，

4

x2+x

的取值范圍為 （

1

5

，+∞），所以實數(shù) t≤

1

5

，②
綜合①②可得，t的取值范圍為 （0，

1

5

]，
故選B．

點評：本題考查一個新定義問題，即區(qū)間的長度，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的分段函數(shù)各段進(jìn)行整理變化，注意恒成立問題，這是高考題目中必出的．