Question

為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本y(萬元)與處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y＝x²－50x＋900，且每處理一噸廢棄物可得價值為10萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補(bǔ)貼10萬元．

(1)當(dāng)x∈[10,15]時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不會虧損？

(2)當(dāng)處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

Answer 1

解　(1)根據(jù)題意得，利潤P和處理量x之間的關(guān)系：

P＝(10＋10)x－y＝20x－x²＋50x－900

＝－x²＋70x－900＝－(x－35)²＋325，x∈[10,15]．

∵x＝35∉[10,15]，P＝－(x－35)²＋325在[10,15]上為增函數(shù)，

可求得P∈[－300，－75]．

∴國家最少補(bǔ)貼75萬元，該工廠才不會虧損．

(2)設(shè)平均處理成本為

Q＝＝x＋－50≥2 －50＝10，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立，由x>0得x＝30.

因此，當(dāng)處理量為30噸時，每噸的處理成本最少為10萬元．